مقاله 2- معادلات دیفرانسیل

ادامه مطلب

بعبارت دیگر، قوانین و مقررات

    Y ^ {(k)} \ چهار \ چهار (k = 1، 2، \ نقاط، N).

معادله دیفرانسیل اصلی توسط ZK جایگزین کرد. حل چند جمله ای به ارزش های N Z، Z1، ...، ZN. جایگزینی هر یک از کسانی که ارزش Z به ZX E می دهد یک راه حل E zix. از آنجا که همگن معادلات دیفرانسیل خطی اطاعت از اصل انطباق، هر ترکیب خطی از این توابع نیز ارضا معادله دیفرانسیل است.

هنگامی که این ریشه همه متمایز نفر، ما را به راه حل متمایز به معادله دیفرانسیل است. می توان آن را نشان داده است که این خطی مستقل هستند، با استفاده از تعیین Vandermonde، و با هم تشکیل یک پایه از فضا از همه راه حل معادله دیفرانسیل است.


به عنوان مثال

    Y''''-2y'' '+2 Y''-2y' + Y = 0 \،

معادله مشخصه

    Z ^ 4-2z ^ 3 +2 Z ^ 2-2z +1 = 0 است. \،

این صفر، من، من، و 1 (تعدد 2). اساس راه حل است و سپس

    E ^ {IX}، \، E ^ {-IX}، \، E ^ x، \، XE ^ X \.

این مربوط به اساس راه حل واقعی ارزش

    \ چون x، \، \ گناه x، \، E ^ x، \، XE ^ X \.

قبل به یک راه حل برای این مورد زمانی که همه صفر هستند متمایز، که هر کدام است تعدد 1. در حالت کلی، اگر Z صفر (احتمالا پیچیده) (یا ریشه) F (Z) داشتن متر تعدد، پس از آن، برای K \ در \ {0،1، \ نقاط، M-1 \} \،، Y = X ^ تو ^ {ZX} \، یک راه حل ODE است. این کار را تمام ریشه می دهد مجموعه از n توابع خطی مجزا و مستقل، که در آن n درجه F (Z). همانطور که پیش از این توابع را تشکیل می دهند اساس فضای راه حل است.

اگر هوش مصنوعی ضرایب معادله دیفرانسیل واقعی هستند، و سپس راه حل های ارزش واقعی به طور کلی ترجیح داده شده است. از آنجا که غیر واقعی ریشه Z سپس در جفت های مزدوج می آیند، بنابراین متناظر با توابع پایه خود را xkezx، و نتیجه مورد نظر است با جایگزین کردن هر جفت با واقعی ارزش خود را دوباره خطی ترکیب (Y) و پیام رسانی فوری (Y)، که در آن Y به دست می آید یکی از این جفت ارز می باشد.

یک مورد که شامل ریشه های پیچیده را می توان با کمک فرمول اویلر حل شده است.
به عنوان مثال

با توجه به Y'' 4y 5 Y = 0 \. معادله مشخصه Z ^ 2-4z +5 = 0 \، که دارای ریشه های 2 + و 2-I. به این ترتیب پایه و اساس راه حل \ {y_1، y_2 \} \ {E ^ {(2 + I) X}، E ^ {(2-i) X} \} \. در حال حاضر سالانه یک راه حل اگر و تنها اگر Y = c_1y_1 + c_2y_2 \، برای c_1، c_2 \ \ mathbb C.

از آنجا که ضرایب واقعی،

    ما به احتمال زیاد در راه حل های پیچیده نیست
    عناصر پایه ما هستند ترکیب متقابل

خطی ترکیب

    u_1 = \ mbox {پاسخ} (y_1) = \ FRAC {y_1 + y_2} {2} = E ^ {2X} \ چون (x) \، و

    u_2 = \ mbox {من} (y_1) = \ FRAC {y_1-y_2} {2i} = E ^ {2X} \ گناه (x) \،

ما یک اساس واقعی در \ {u_1، u_2 \} را.
نوسانگر هارمونیک ساده

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

    D ^ 2 Y =-k ^ 2 Y،

که نشان دهنده یک اسیلاتور ساده هارمونیک، می تواند به عنوان بیان

    (D ^ 2 + k ^ 2) Y = 0.

بیان در پرانتز می تواند از عامل، بازده

    (D + I K) (D - I K) Y = 0،

که دارای یک جفت از راه حل های خطی مستقل، یکی برای

    (D - K I) Y = 0

و دیگری برای

    (D + I K) Y = 0.

راه حل هستند، به ترتیب،

    y_0 = A_0 E ^ {من به K X}

و

    y_1 = A_1 E ^ {-I K X}.
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
این راه حل پایه ای برای دو بعدی از فضای راه حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم: به این معنی که ترکیب خطی از این راه حل ها نیز خواهد شد راه حل است. به طور خاص، راه حل های زیر را می توان ساخته شده

    y_ {0} = {A_0 E ^ {ikx} + A_1 E ^ {-ikx} \ بیش از 2} = C_0 \ چون {KX \ بیش از 2 I} = C_1 \ گناه (KX).

این دو راه حل مثلثاتی خطی مستقل هستند، به طوری که آنها می تواند به عنوان یکی دیگر از پایه و اساس فضای راه حل خدمت می کنند، بازده راه حل های عمومی زیر:

    y_H = C_0 \ چون (K X) + C_1 \ گناه (K x).

میرا نوسانگر هارمونیک

با توجه به معادله نوسانگر هارمونیک میرا:

    \ چپ (D ^ 2 + {B \ بیش از متر} D + \ omega_0 ^ 2 \ سمت راست) Y = 0،

بیان در پرانتز می تواند از عامل است: اول به دست آوردن معادله مشخصه را جایگزین D با λ. این معادله باید برای همه Y راضی است، بنابراین:

    \ لامبدا ^ 2 + {B \ بیش از متر} \ لامبدا + \ omega_0 ^ 2 = 0.

حل با استفاده از فرمول درجه دوم:

    \ لامبدا = {-B / M \ PM \ SQRT {B ^ 2 / M ^ 2 - 4 \ omega_0 ^ 2} \ بیش از 2}.

با استفاده از این داده ها را به عامل از معادله دیفرانسیل اصلی:

    \ چپ (D + {B \ بیش از 2 متر} - \ SQRT {{B ^ 2 \ بیش از 4 متر ^ 2} - \ omega_0 ^ 2} \ سمت راست) \ سمت چپ (D + {B \ بیش از 2M} + \ SQRT {{B ^ 2 \ بیش از 4 متر ^ 2} - \ omega_0 ^ 2} \ حق) Y = 0.

این به معنی یک جفت از راه حل ها، یکی مربوط به

    \ چپ (D + {B \ بیش از 2 متر} - \ SQRT {{B ^ 2 \ بیش از 4 متر ^ 2} - \ omega_0 ^ 2} \ حق) Y = 0

و دیگری

    \ چپ (D + {B \ بیش از 2M} + \ SQRT {{B ^ 2 \ بیش از 4 متر ^ 2} - \ omega_0 ^ 2} \ حق) Y = 0

راه حل هستند، به ترتیب،

    y_0 = A_0 E ^ {- \ امگا X + \ SQRT {\ امگا ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} X} = A_0 E ^ {- \ امگا X} E ^ {\ SQRT {\ امگا ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} X}

و

    y_1 = A_1 E ^ {- \ امگا X - \ SQRT {\ امگا ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} X} = A_1 E ^ {- \ امگا X} E ^ {- \ SQRT {\ امگا ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} X}

که در آن ω = B / 2M. از این جفت خطی مستقل از راه حل ها می تواند ساخته شود یک جفت خطی مستقل دیگر که در نتیجه به عنوان یک پایه برای فضای راه حل دو بعدی خدمت می کنند:

    y_H (A_0، A_1) (x) = \ چپ (A_0 \ sinh \ SQRT {\ امگا ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} X + A_1 \ شنگول \ SQRT {\ امگا ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} X \ حق ) E ^ {- \ امگا X}.

با این حال، اگر | ω | <| ω0 | پس بهتر است برای خلاص شدن از تصورات متعاقب، بیان راه حل های عمومی به عنوان

    y_H (A_0، A_1) (x) = \ چپ (A_0 \ گناه SQRT \ {\ omega_0 ^ 2 - \ امگا ^ 2} X + A_1 \ چون SQRT \ {\ omega_0 ^ 2 - \ امگا ^ 2} X \ حق ) E ^ {- \ امگا X}.

این راه حل دوم مربوط به مورد underdamped، در حالی که سابق مربوط به صورت overdamped: راه حل برای مورد underdamped نوسان در حالی که راه حل های برای مورد overdamped.
معادله ناهمگن با ضرایب ثابت

برای به دست آوردن راه حل معادله ناهمگن (گاهی اوقات به نام معادله ناهمگن)، YP خاص (x) انتگرال توسط هر دو روش ضرایب نامعین و یا استفاده از روش تنوع پارامترها، راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل خطی است که مجموع راه حل عمومی معادله همگن و انتگرال خاص. یا هنگامی که شرایط اولیه تعیین می کنند، استفاده از تبدیل لاپلاس برای به دست آوردن راه حل خاص است.

فرض کنید ما با آن مواجه

    \ FRAC {D ^ {N} Y (x)} {DX ^ {N}} + A_ {1} \ FRAC {D ^ {n-1} Y (x)} {(DX) ^ {n-1}} + \ نقاط + A_ {N} Y (x) = f (x).

برای راحتی بعد از تعریف چند جمله ای مشخصه

    P (v) = V ^ N + A_1v ^ {n-1} + \ نقاط + A_N.

ما اساس راه حل \ {y_1 (x)، y_2 (x) \ ldots، y_n (x) \} همانطور که در همگن (F (x) = 0) مورد. ما در حال حاضر به دنبال YP خاص (x) انتگرال تنوع پارامترهای از روش. ضرایب ترکیب خطی توابع از X:

    y_p (x) (x) = u_1 y_1 (X) + u_2 (x) y_2 (x) + \ نقاط + u_n (x) y_n (x).

برای سهولت نماد ما وابستگی به X (به عنوان مثال مختلف (x)) قطره. با استفاده از نماد عملگر D = D / DX، ODE در سوال P (D) Y = F، پس

    F = P (D) y_p = P (D) (u_1y_1) + P (D) (u_2y_2) + \ نقاط + P (D) (u_ny_n).

با محدودیت

    0 = u'_1y_1 + u'_2y_2 + \ نقاط + u'_ny_n
    0 = u'_1y'_1 + u'_2y'_2 + \ نقاط + u'_ny'_n
    \ نقاط
    0 = u'_1y ^ {(n-2)} _1 + u'_2y ^ {(n-2)} _2 + \ نقاط + u'_ny ^ {(n-2)} _n

پارامترهای کردن رفت و آمد،

    F = u_1P (D) y_1 + u_2P (D) y_2 + \ نقاط + u_nP (D) y_n + u'_1y ^ {(n-1)} _1 + u'_2y ^ {(n-1)} _2 + \ نقاط + u'_ny ^ {(n-1)} _n.

اما P (D) YJ = 0 باشد، در نتیجه

    F = u'_1y ^ {(n-1)} _1 + u'_2y ^ {(n-1)} _2 + \ نقاط + u'_ny ^ {(n-1)} _n.

این، با محدودیت ها، به یک سیستم خطی در u'j. در واقع، ترکیب حکومت کرامر با Wronskian، تا این حد همیشه می توانید باید حلش کرد

    u'_j = (-1) ^ {N + J} \ FRAC {W (y_1، \ ldots، y_ {J-1}، y_ {J +1} \ ldots، y_n) _ {0 \ را انتخاب کنید F}} {W (y_1، y_2، \ ldots، y_n)}.

بقیه موضوع یکپارچه سازی u'j است.

انتگرال خاص منحصر به فرد نیست. y_p + c_1y_1 + \ نقاط + c_ny_n نیز ارضا می ODE برای هر مجموعه ای از CJ ثابت.
مثال

فرض کنید Y''-4y 5 Y = \ گناه (KX). ما را بر اساس راه حل یافت شده در بالا \ {E ^ {(2 + I) X}، e ^ {(2-i) X} \}.

    W \، = \ آغاز {vmatrix} E ^ {(2 + I) X} & E ^ {(2-من به) X} \ \ (2 + من به) E ^ {(2 + I) X} و (2 - I) E ^ {(2-i) X} \ پایان {vmatrix}
    = E ^ {4X} \ {شروع vmatrix} 1 & 1 \ \ 2 + و 2-I \ پایان {vmatrix}
    = 2ie ^ {4X} \،

    u'_1 \ = \ FRAC {1} {W} \ {شروع vmatrix} 0 & E ^ {(2-i) X} \ \ \ گناه (KX) و (2-i) E ^ {(2-i) X} \ پایان {vmatrix}
    = - \ FRAC {} 2 \ گناه (KX) E ^ {(-2-I) X}

    u'_2 \ = \ FRAC {1} {W} \ {شروع vmatrix} E ^ {(2 + I) X} & 0 \ \ (2 + I) E ^ {(2 + I) X} & \ گناه (KX) \ پایان {vmatrix}
    = \ FRAC {} {2} \ گناه (KX) E ^ {(-2 + I) X}.

با استفاده از فهرستی از انتگرال توابع نمایی

    u_1 \ = - \ FRAC {} {2} \ اعضای هیات \ گناه (KX) E ^ {(-2-I) X} \، DX
    = \ FRAC {یعنی ^ {(-2-I) X}} {2 (3 +4 من + k ^ 2)} \ سمت چپ ((2 + I) \ گناه (KX) + K \ چون (KX) \ راست )

    u_2 \ = \ FRAC I2 \ اعضای هیات \ گناه (KX) E ^ {(-2 + I) X} \، DX
    = \ FRAC {یعنی ^ {(I-2) X}} {2 (3-4I + k ^ 2)} \ سمت چپ ((I-2) \ گناه (KX)-K \ چون (KX) \ حق) است.

و بنابراین

    y_p \ = \ FRAC {} {2 (3 +4 I + K ^ 2)} \ سمت چپ ((2 + I) \ گناه (KX) + K \ چون (KX) \ راست) + \ FRAC {I} {2 (3-4I + k ^ 2)} \ سمت چپ ((I-2) \ گناه (KX)-K \ چون (KX) \ حق)
    = \ FRAC {(5-k ^ 2) \ گناه (KX) 4 K \ چون (KX)} {(3 + k ^ 2) ^ 2 16}.

(توجه داشته باشید که U1 و U2 به حال عواملی که لغو Y1 و Y2، که معمول است)

نظرات شما عزیزان:

نام :

آدرس ایمیل:

وب سایت/بلاگ :

متن پیام:

نظر خصوصی

 کد را وارد نمایید:

 

 

 

عکس شما

آپلود عکس دلخواه: